Geometrinė optika: Gauso formulė lęšiui

Nepamenu ar mokykloje kas aiškino kaip Gausas išvedė lęšio formulę. Gal ir pasakojo, tik aš jau nebeprisimenu. Bet kuriuo atveju yra pretekstas pačiam pabandyti ją išvesti.

Beje, kodėl Gauso nagrinėta optika vadinama "geometrine"? Todėl, kad žmonės ilgai manė, jog šviesa sklinda tiesiais spinduliais. Būtent šia prielaidą vadovavosi ir Gausas išvesdamas lęšio formulą. Braižant šiuos spindulius jų sklidimo plokštumoje gaunamos įvairios geometrinės figūros - matyt tai ir yra priežastis, kodėl toks optikos aiškinimas vadinamas "geometriniu".

Šiuolaikinei fizikai žinomi reiškiniai - pvz. difrakcija - paneigia šviesos sklidimo spinduliais teoriją. Jų tiesiog negalima paaiškinti naudojant geometrinę optiką. Nepaisant to, Gauso išvesta formulė yra pakankamai tiksli - aiškinant plonojo lęšio poveikį sklindančiam šviesos srautui refrakcijos principu rezultate gaunam tą patį.

Norint išvesti Gauso lęšio formulę pakanka (vėlgi) elementarių geometrijos žinių ir žinoti pagrindinę lęšio sąvybę: lygiagretūs spinduliai fokusuojami židinyje. Ir atvirkščiai: šviesos spindulys einantis per židinį už lęšio virsta lygiagrečiu šviesos srautu. Jeigu parodyti vaizdžiai - tai atrodytų taip:

čia turim lęšį su pažymėtais židiniais F₁ ir F₂ .

Taigi tarkim, kad kairėje (prieš lęšį) turim objektą, o dešinėje (už lęšio) - jo vaizdą. Tarp sklindančių spindulių ir optinės lęšio ašies galima nubraižyti keturis trikampius: du tarpusavyje panašius prieš lęšį ir du panašius už jo. Vaizdumo dėlei nuspalvinau juos diagramoje:

Gauso formulė lęšiui (paspaudus atsidarys didesnis paveikslėlis)

Diagramoje surašiau ir matematinių formulių išvedimą. Principas paprastas: užrašome aukštinių (žymimos raidėmis g ir h diagramoje) santykį su atitinkamo trikampio pagrindu kiekvienai panašių trikampių porai. Kadangi trikampių prieš ir už lęšio aukštinės vienodos, tai dalindami gautas formules viena iš kitos aukštines eliminuojam. Lieka tik atstumai. O iš ten paprastų manipuliacijų dėka išvedam Gauso formulę lęšiui.

Va ir viskas. Kam tiek vargo? Tikiuosi pravers vėliau - ieškant fokuso.