Geometrinė optika: Gauso formulė lęšiui

Nepamenu ar mokykloje kas aiškino kaip Gausas išvedė lęšio formulę. Gal ir pasakojo, tik aš jau nebeprisimenu. Bet kuriuo atveju yra pretekstas pačiam pabandyti ją išvesti.

Beje, kodėl Gauso nagrinėta optika vadinama "geometrine"? Todėl, kad žmonės ilgai manė, jog šviesa sklinda tiesiais spinduliais. Būtent šia prielaidą vadovavosi ir Gausas išvesdamas lęšio formulą. Braižant šiuos spindulius jų sklidimo plokštumoje gaunamos įvairios geometrinės figūros - matyt tai ir yra priežastis, kodėl toks optikos aiškinimas vadinamas "geometriniu".

Šiuolaikinei fizikai žinomi reiškiniai - pvz. difrakcija - paneigia šviesos sklidimo spinduliais teoriją. Jų tiesiog negalima paaiškinti naudojant geometrinę optiką. Nepaisant to, Gauso išvesta formulė yra pakankamai tiksli - aiškinant plonojo lęšio poveikį sklindančiam šviesos srautui refrakcijos principu rezultate gaunam tą patį.

Norint išvesti Gauso lęšio formulę pakanka (vėlgi) elementarių geometrijos žinių ir žinoti pagrindinę lęšio sąvybę: lygiagretūs spinduliai fokusuojami židinyje. Ir atvirkščiai: šviesos spindulys einantis per židinį už lęšio virsta lygiagrečiu šviesos srautu. Jeigu parodyti vaizdžiai - tai atrodytų taip:
čia turim lęšį su pažymėtais židiniais F1 ir F2 .

Taigi tarkim, kad kairėje (prieš lęšį) turim objektą, o dešinėje (už lęšio) - jo vaizdą. Tarp sklindančių spindulių ir optinės lęšio ašies galima nubraižyti keturis trikampius: du tarpusavyje panašius prieš lęšį ir du panašius už jo. Vaizdumo dėlei nuspalvinau juos diagramoje:
Gauso formulė lęšiui (paspaudus atsidarys didesnis paveikslėlis)
Diagramoje surašiau ir matematinių formulių išvedimą. Principas paprastas: užrašome aukštinių (žymimos raidėmis g ir h diagramoje) santykį su atitinkamo trikampio pagrindu kiekvienai panašių trikampių porai. Kadangi trikampių prieš ir už lęšio aukštinės vienodos, tai dalindami gautas formules viena iš kitos aukštines eliminuojam. Lieka tik atstumai. O iš ten paprastų manipuliacijų dėka išvedam Gauso formulę lęšiui.

Va ir viskas. Kam tiek vargo? Tikiuosi pravers vėliau - ieškant fokuso.

Rekomendacijų galia: Rokiškio pikas

Pradėjau rašyti tinklaraštį. Sugalvojau planą. Parašyti kokias penkias dešimtis dėmesio vertų įrašų į savo tinklaraštį. Apsiprasti ir suprasti, ką aš noriu toje blogosferoje veikti, o jau tada – jeigu matysis tame kokia nors prasmė – prašytis būt pareklamuojamam pas ką nors (šiaip jau niekada nemėgau protekcijų ar lengvesnio jų varianto - rekomendacijų). Bet va prabudau vieną rytą ir supratau, kad man nenuėjus nei pusės suplanuoto kelio ponas Rokiškis sunešiojo tuos mano ilgai puoselėtus planus. Žodžiu, aš taip ilgai planavau, kaip čia dalinsiu komisinius už reklamą iš savo pirmo uždirbto milijono, o dabar gavau chaliavai ir esmi visiškai pasimetęs ką reikės daryti su tais would be procentais. Nu bet ką nors sugalvosiu iki to laiko, kai pinigas pradės kišenių plėšti.

Ant kitos dienos pasižiūrėjau lankomumo statistikas ir supratau, kad viena diena perspyrė geriausias viso mėnesio (!) pastangas, o ir feedburner'io skaitliukas parodė 15 kart padidėjusią radiaciją. Reikalas pasirodė daug rimtesnis, negu buvo mano pradinis užmanymas. Ant greitųjų sukurpiau naują maldelę, kurią vis kartojau žiūrėdamas į kylančius kalnus statistikoje: “ramybė, tiktai ramybė – tai nieko nereiškia, turi nepasiduoti vienadienėm pagundom ir daryti tai ką darei iki šiol, tai kas tau patiko ir tai kuom tiki pats”.

Išrašiau sau priverstinio nežiūrėjimo į lankomumo statistiką mėnesį - streso mažiau. Gerai, kad tuo pat metu šiokia tokia visuomeninė veikla užgriuvo - buvo lengviau atsilaikyti prieš pagundą spausti nuorodą "Stats". Tiesiog nebeliko tam laiko.

Bet įtikėjau rekomendacijų galia. Ta proga, štai šį piką savo tinklaraščio lankomumo statistikoje oficialiai krikštyju "Rokiškio piku":


Tiesa, neištvėriau viso mėnesio ir kažkuriuo momentu įlindęs į feedburner'į radau štai tokį - galima sakyt sexy - vaizdelį:
Kokiam blogosferos grandui tokie skaičiukai greičiausiai atrodo juokingi, bet kaip
nišiniam tinklaraščiui su trim dešimtim įrašų per devynis mėnesius gal visai ir neblogai, kaip manot?

Kad jau kalba apie rekomendacijas užėjo, tai ir aš pasidalinsiu nuoroda. Kaip sakoma - už gerą geru reikia atsilyginti. Nu ne, žinoma, Rokiškio nereklamuosiu - mažai prasmės tame būtų. Bet radau teminį tinklaraštį, kurio tema man įdomi tik šiaip, iš smalsumo - nesu didelis to reikalo gerbėjas. Bet netyčia perskaičiau porą straipsnių ir... jeigu rašyčiau analogiją su maistu, tai turėčiau apibūdint taip: skaniai rašo. Labai. Mėgaujuosi iki šiol - skaitau neskubėdamas visus naujus įrašus, nepraleisdamas nei vieno.

Siūlau ir jums, nespręsti nei pagal tinklaraščio pavadinimą, nei pagal straipsnių antraštes, o tiesiog imti ir ramiai perskaityti porą straipsnių. Taip palengva, tarsi dėtumėt į burną gurmaniško patiekalo kasniuką ir jaustumėt bundančius visus skonio receptorius... Pasiruoše? Judam: "Blogas automobiliams|…ir ne tik"

Takelis

Bevaikščiodamas su šunim po vietinį parkelį dar žiemą atkreipiau dėmesį į tai, kaip žaismingai raitosi paprastas parko takelis. Šįryt nepatingėjau ir pasiėmiau fotoaparatą. Štai jis - mano atradimas:
(spūstelėjus atsisiųs didesnis vaizdelio variantas)

Kaip išsidūriau su Picasa

Rašydamas "Kodėl fotografuoju į RAW?" pirmą ir antrą dalis dėjau nuorodas į 100% dydžio kadrus. Ir berods tikrinau - viskas buvo gerai. Bet kai sekančią dieną (rytas už vakarą protingesnis) pasitikrinau antros dalies nuorodas - pasirodo nuorodos tik į 1600 pločio vaizdelius, kai originalas yra 3888 pločio (o du kadrai šalia - atitinkamai du kart platesni). Žodžiu - atsisiunčia graužtukai. Sprendimas primityvus: persijungiau į HTML redagavimą, susiradau nuorodą į vaizdelį, tipo
http://2.bp.blogspot.com/-V6...xVs/s1600/vaizdelis.jpg
ir pakeičiau tą pločio parametrą s1600 į s0.Viskas - bakstelėje paveiksliuko miniatūrą tinklaraštyje atsisiųsite originalaus dydžio vaizdelį. Reiks kažkaip neužmiršti ateičiai. O šiam kartui prasibėgau ir sutvarkiau nuorodas minėtuose įrašuose - tam atvejui, jeigu kas pasigedote.

Mintis iš niekur (8)

Patirtis be konteksto kaip mirtis be gyvenimo...

Kodėl fotografuoju į RAW? (II dalis)

Taigi - antra dalis užtruko. Daug daug ilgiau negu tikėjausi. Bet pagaliau turiu viską, ko reikia užbaigti pradėtą darbą, todėl tęsiam atsakymų paiešką: kiek galima išspausti iš "nenusisekusio" kadro  apie kurį rašiau pirmoje dalyje?

Pradžiai apie įrankius kuriuos naudojau. Kadangi fotografija nėra mano profesija, o tik hobis, tai mokėti rimtus pinigus už rimtas programas a la Adobe Photoshop kažkaip ranka nekyla. Nelegalus instaliaviamas arba vagystė palieka tokį pošlykštį diskomforto jausmą, todėl jau senokai tuom neužsiiminėju. Taip, dažniausiai naudoju GIMP'ą, bet šiuo atveju jį išmečiau iš galimų variantų dėl per mažo tikslumo - jo vidiniai algoritmai naudoja tik aštuonių bitų koduotę. Todėl vėl pasirinkau  nemokamų programų paketo ImageMagick šešiolikos bitų instaliaciją. To paties, kurį naudojau pirmoje dalyje skirtumui matuoti. Toks komandinės eilutės įrankio pasirinkimas turi netgi šiokį tokį privalumą - į komandinį failą (.cmd, .bat ar .sh - skonio reikalas) surašius komandų seką, dviem klavišų paspaudimais gauni pakoreguotą vaizdą ir iškart pamatavimą, kiek jis artimas etalonui. Bet čia manęs pasirodo laukė "spąstai", kurie prarijo visą pagrindinį laiką skirtą šiam įrašui: tuos komandinius failus teko sukti nežinau kiek šimtų kartų, kol išspaudžiau kažkokį maksimumą iš kiekvieno vaizdo.

Kol neperėjom prie konkrečių vaizdų, įspėjimas: nebandykite to kartoti namuose - užmušit labai daug laiko :) Reikia pripažinti, kad pagrindinis mano eksperimento rezultatas - iki maksimalaus panašumo etalonui išspaustas vaizdelis - mažai pritaikomas praktikoje. Nes jeigu turite galimybę palyginti - vadinasi turit gerą kadrą ir tą prastąjį galit mesti lauk - kam prie jo vargti? O jeigu turit tik nenusisekusį, tai vis tiek geriau jį taisyti su įprasta vaizdų redagavimo programa, kurioje galit iš kart pamatyti - patinka ar ne jums rezultatas.

Taigi, jeigu neatmušiau noro toliau skaityti, pradinis vaizdelis:

Kodėl fotografuoju į RAW? (I dalis)

Šiaip jau diskusijas kokiu formatu geriau fotografuoti – RAW ar JPG – galima priskirti „religinių ginčų“ kategorijai. Nemėgstu tokiuose dalyvauti, nes naudos iš religinių ginčų paprastai yra nedaug. Bet va neatsispyriau pagundai ir sudalyvavau diskusijoje Grumlino tinklaraščio komentaruose apie tai: fotografavimas į RAW formatą yra išmislas ar ne?

Jau kuris laikas pats fotografuoju į RAW formatą – man patinka jo suteikiamas lankstumas. Bet kiek jis objektyviai geresnis už JPG? Tad po minėtos diskusijos pagalvojęs nusprendžiau, kad visai sveika būtų šioje srityje irgi „susidėlioti taškus ant i“.

Pradžiai apie tai, kuom teorijoje RAW skiriasi nuo paplitusio JPG. Esminių skirtumų nėra daug, bet jie yra labai svarbūs:
  1. RAW formate yra užrašoma informacija praktiškai taip, kaip ji buvo nuskaityta iš fotoaparato sensoriaus. Šis formatas (-ai) yra priklausomi nuo atitinkamų fotoaparatų gamintojų, todėl manau nei vienoje bendro naudojimo vaizdų redagavimo programoje „Save as...“ dialoge nerasite pasirinkimo saugoti į RAW – nėra vieningo standarto. Gi JPG formatas yra tarptautinis standartas ir jame išsaugota fotografijos informacija jau būna pagal tam tikras taisykles apdorota.
  2. RAW formatas kiekvienai iš RGB spalvų koduoti - priklausomai nuo fotoaparato - naudoja 12 arba 14 bitų, t.y. 4096 arba 16384 reikšmes. JPG kiekvienai iš spalvų koduoti naudoja tik 8 bitus arba 256 skirtingas reikšmes.
  3. RGB reikšmės RAW formate pasižymi tiesiškumo savybe. T.y. dukart ilgiau eksponuoto kadro RGB reikšmės bus proporcingai didesnės. O fotografijai JPG formate standartinėje sRGB spalvų erdvėje yra pritaikoma taip vadinamoji gama korekcija, dėl ko dukart ilgiau išlaikyto kadro RGB reikšmės skirsis mažiau negu du kartus. Kuo šviesesni bus tonai, tuo mažesnis bus tas santykis. Ir atvirkščiai.
Ūkiškas klausimas – kaip šitais skirtumais pasinaudoti praktiškai? Šiek tiek pasikartosiu: kaip žinia, ekspozicija yra tam tikras kompromisas tarp ISO jautrumo (triukšmų), apertūros (detalės/bokeh) ir išlaikymo (judesio išplaukimas). Prieblandoje fotografuojant be blico man visuomet „peilis“ yra ilgas išlaikymas - „plaukia“ kadrai, nes išlaikymo metu rankos šiek tiek sudreba, kad ir kiek stengčiausi. Dar blogiau, jeigu fotografuojamas objektas, pvz. juodas šuo parodos metu ringe, juda – joks trikojis nepadės. Galima kažkiek užsikelti sensoriaus jautrumą (ISO), bet pakankamai greitai fotografijose pradeda lįsti gan akivaizdūs triukšmai, kuriuos reik valyt, o tai reiškiasi kirst per detalumą. Apertūra paprastai atidaryta ir taip iki galo. Ką dar būtų galima padaryti? Tokioje situacijoje bandau gudrauti ir pasitelkti į pagalbą RAW formato savybes - nurodau fotoaparatui ekspozicijos korekciją (neišlaikymą) kokiems 1-2 Ev. Kodėl? Todėl, kad paėmęs RAW galiu pakoreguoti (padidinti) ekspoziciją per tuos pačius 1-2 Ev neiškreipdamas bedro vaizdo, t.y. pasinaudoti ta pačia RAW tiesiškumo savybe.

Mat 12-a bitų RAW formate teoriškai reiškia tiek pat žingsnių dinaminį diapazoną. Neišlaikymas per 2 Ev reiškia keturiskart trumpesnę ekspoziciją prie tos pačios apertūros. Ir atitinkamai keturis kartus mažesnes reikšmes RAW faile. Arba dviejų bitų (žingsnių) tikslumo praradimą. Rezultate turim vis dar teorinį 10 bitų dinaminį diapazoną, kurį su minimaliais nuostoliais galim konvertuoti į JPG 8 bitų dinaminį diapazoną. Atkreipiu dėmesį - ekspozicijos taisymas, kontrasto keitimas ir panašūs veiksmai gali išryškinti detales, tačiau neikeičia jų kiekio arba realaus nuotraukos detalumo, t.y. dinaminio diapazono. JPG atveju neišlaikymas per 2 Ev reikš dinaminio diapazono mažėjimą iki 6 bitų. Teoriškai tai reiškia keturis kart mažiau detalių negu nuotraukoje pagamintoje iš RAW ir to pasekoje labiau išplaukęs vaizdas ir/arba "grūdėtumas".

Visa tai teorija. O kaip praktikoje? Norint nors kiek patikimai pamatuoti fotografijos dinaminį diapazoną reikia turėti atitinkamai sukalibruotą fotografuojamą taikinį ir šviesos šaltinį. Aš tokių neturiu, dauguma jūsų manau irgi – brangus tai malonumas. Galiu fotografuoti statinį vaizdą. Bet kaip, nors kiek objektyviai, pamatuoti skirtumus tarp fotoaparato pagaminto JPG ir iš RAW kompiuteryje pagaminto JPG? Turėti įvertinimą skaičiais juk būtų netgi labai sveika.

Prisiminiau, kad karts nuo karto vaizdų apdorojimui naudoju nemokamą programų paketą ImageMagick. Jame atradau vaizdų palyginimo programa „compare“, kuri leidžia suskaičiuoti skirtumus tarp dviejų vaizdų įvairiausiais būdais. Viena iš suskaičiuojamų metrikų, o būtent Peak Signalto Noise Ratio (PSNR), leidžia skaitiniu būdu gan neblogai įvertinti kiek du vaizdai yra panašūs/skirtingi. Turėdamas kokybišką kadrą - vaizdo etaloną - galiu pamatuoti skirtumą (PSNR) nuo ne tokio kokybiško kadro. Taip įvertinsiu kaip man sekėsi atstatyti etaloninį kadrą iš neišlaikyto kadro RAW ar JPG formate. Ir galėsiu palyginti kuris iš jų su šia užduotim susidoros geriau. Taigi - eksperimentas. Fotografimui naudojau štai tokias priemones ir parametrus
Fotoaparatas Canon EOS 40D
Objektyvas EF 24-105mm f/4 L IS USM
Apšvietimas Natūrali dienos šviesa (apniuke), šoninis
Fotografavimo rėžimas Manual + AE bracketing
Jautrumas ISO 200
Baltos spalvos balansas Debesuota
Apertūra f/4
Išlaikymas 1/13s ± 1⅓Ev [AE bracketing] su 10s užlaikymu
Formatas RAW+JPG (3888x2592)
Nuotraukos stilius Neutralus
Blykstė Ne
Trikojis Taip

Trumpai apibūdinsiu eksperimento idėją:
  • Fotografuosiu tą pačią sceną su skirtingais išlaikymais. Kad galėčiau palyginti gautas nuotraukas scena parenkama statinė ir fotoaparatas nustatomas į automatinio fotografavimo ekspozicijos intervale (Auto ExposureBracketing) rėžimą. Taip gauname tris to paties kadro ekspozicijas. 
  • Konkrečiai šiame eksperimente scenos apšviestumas padiktavo šiuos išlaikymus: 1/5s, 1/13s, 1/30s. Kadras išlaikytas 1/5s yra etaloninis – su juo ir bus lyginama. O atstatinėti bandysime iš kadro fotografuoto su 1/30s išlaikymu. 
  • RAW ir JPG palyginimui pasirenkau fotografavimo į RAW+JPG būdą, todėl kiekvienas kadras išsaugomas dviejuose skirtinguose formatuose. Rezultate vienu mygtuko paspaudimu gauname šešis failus atitinkančius tris skirtingas ekspozicijas. 
  • Trikojis ir 10s užrakto užlaikymas turi garantuoti, kad fotoaparatas nejudės ir nuotraukų scenos bus pikselis į pikselį identiškos.
  • JPG gaminti iš RAW buvo naudojama standartinė Canon programa Digital Photo Professional su absoliučiai standartiniais nustatymais. Vienintelis parametras, kurį nurodžiau - tai kur histogramoje  yra užfiksuotos ekspozicijos maksimumas.
  • Iš esmės lyginsiu obuolius su obuoliais ir apelsinus su apelsinais, t.y. JPG tik su JPG variantais ir RAW tik su RAW. Visi kryžminiai palyginimai JPG vs RAW yra tik dėl sportinio intereso, bet ne dėl objektyvaus vertinimo.
Berods nieko neužmiršau. Tada - pirmyn, prie nuotraukų.

Pradžioje - neredaguoti fotoaparato pagaminti JPG (kairėje) ir iš RAW kompiuteryje gaminti JPG variantai (dešinėje):
Fotoaparato JPG
JPG iš RAW formato
Sutikit - skirtumai daugiau negu akivaizdūs. Jei labai smalsu - bakstelkite paveikslėlius ir pamatysite originalaus dydžio nuotraukų grupes. Įspėju: failai nemaži - apie 3MB ir 5MB atitinkamai.

Pamatavau, kokį PSNR gaunu tarp idealaus kadro (1/5s) ir maksimaliai neišlaikyto (1/30s). Primenu - lyginu JPG su JPG ir RAW su RAW atitinkamai:
JPG~11,2dB
RAW~30,1dB
Skirtumas yra beveik 20dB - daug tai ar mažai? Ogi matematika sako, kad iš RAW pagamintas variantas yra dešimt (10) kart arčiau etalono, negu fotoaparato pagamintas JPG. Nežinau kaip jums, bet man tai daro įspūdį.

Tai toks pirmas greitas žvilgsnis į pasirinkimą RAW vs JPG. Sekanti mintis, kuri kirbėjo nuo pat eksperimento pradžios, yra tokia: o ar tikrai iš JPG'o įvairiausiais redagavimais negalima "išspausti" daugiau, kad kokybė susilygintu su RAW? Tikrai įdomu. Bet apie tai sekančiuose įrašuose.