Suskaičiuokime šviesą

Kaip jau rašiau praeitame įraše - šis įrašas bus visiškai nuobodus fotografijos prasme, bet absoliučiai būtinas norint suprasti kai kurias fokusavimo subtilybes.

Pradėkime išsiaiškindami vieną svarbų dalyką: kokį gi maksimalų vaizdo ryškumą galime pasiekti. Yra tikrai ne vienas požiūro kampas, kaip būtų galima nagrinėti ir apibrėžti vaizdo ryškumą, tačiau mums yra įdomus šis: kokias smulkiausias objekto, kuris yra atstumu l_o nuo lęšio, dY_o dydžio detales galime tikėtis užfiksuoti sensoriuje, kuris yra l_s atstumu nuo lęšio ir kurio vienos celės dydis yra dY_s. T.y. apibrėžkime teoriškai įmanomą smulkiausią objekto detalę, kurią galėtume įžiūrėti fotografijoje. Pradžioje paprastas skaičiavimas: kokio dydžio objekto detalė atitiktų vieną sensoriaus celę. Vėl prisiminsime ir pasinaudosime panašių trikampių proporcijų skaičiavimais:

${\mathit{dY}}_o\mathrm{=}{\mathit{dY}}_s\mathrm{\ast }\frac{l_o}{l_s}$
Tai ir būtų minimalus objekto detalės dydis, jeigu nuo jos atsklidęs šviesos srautas idealiai uždengtų vieną sensoriaus celę. Deja, bet kaip nesunku suprasti - tam reikalingos idealios sąlygos, ko gyvenime praktiškai nebūna. Todėl yra priimta sakyti, kad tam, jog detalę būtų galima išskirti fotografijoje, reikia jog ji būtų bent du kart didesnė už šį dydį. Tada nuo detalės atsklidusi šviesa suformuos dėmelę, kurį tikrai pilnai uždengs bent vieną celę ir taip išsiskirs.

Kad nebūtų taip nuobodu - keletas praktinių paskaičiavimų. Tarkim, kad fotografuojame Canon EOS 40D fotoaparatu, kurio vienos sensoriaus celės dydis yra ≈5,7 μm ir naudojamas objektyvas su 24 mm židinio nuotoliu.

ls	lo	dYo	minimali detalė
24,576 mm	1024 mm	~0,238 mm	~0,475 mm
24,288 mm	2024 mm	0,475 mm	0,950 mm
24,144 mm	4024 mm	0,950 mm	1,900 mm
24,072 mm	8024 mm	1,900 mm	3,800 mm

Atstumus specialiai parinkau taip, lyg vaizdas tiksliai fokusuotusi sensoriuje. Dėsningumą pastebėti nesunku - dvigubinant atstumą, fiksuojama minimali detalė didėja irgi dvigubai. Čia kai fokusuojam tiksliai. O kai netiksliai - atsiranda papildomų dėmenų, apsprendžiančių detalumą. Bet apie tai vėliau.

Beje, formulėje panaudoti žymėjimai dY_s ir dY_o turi atitinkamus populiarius pavadinimus - tikiuosi pamenat neraiškos apskritimas (anglų k.: Circle of Confusion) ir neraiškos diskas (anglų k.: Disc of Confusion) atitinkamai. Abu terminai yra plačiau paaiškinti minėtoje knygoje, tad jeigu vis dar kyla klausimų - siūlau pažiūrėt ten.

Sekanti paminėjimo verta sąvoka yra taškinis šviesos šaltinis (arba sutrumpintai: TŠŠ).

Taškinis šviesos šaltinis. Balti taškai vaizduoja tolstančius fotonus; melsvi trikampiai vaizduoja vienodo kampo spindulius, kuriuose yra vienodas fotonų srautas;

Įdomi ši sąvoka mums tuo, kad bet kurį fotografuojamo objekto paviršiaus tašką, nuo kurio atsispindi šviesa, galima laikyti taškiniu šviesos šaltiniu. Idealiu atveju, nuo taškinio šviesos šaltinio visomis kryptimis sklinda vienodas fotonų srautas: jeigu iš taškinio šaltinio centro vaizduotėje išvestume vienodu kampu platėjančius spindulius (kaip tie melsvi piešinyje aukščiau), tai jų viduje suskaičiuotuome vienodą fotonų skaičių. Kuo toliau nuo šaltinio - tuo didesni atstumai tarp fotonų. Tačiau per spindulio skerspjūvio plotą praskrendančių fotonų srautas tam pačiam spinduliui nepasikeis, nepriklausomai nuo to kokiu atstumu nuo šaltinio skaičiuosim. Tai priklauso tik nuo spindulio platėjimo kampo. Apie tą kampą tiek daug rašau, todėl, kad jis mums įdomus bent dviem atžvilgiais: kaip matuojamas ir kaip galima panaudoti skaičiuojant, kiek fotonų paklius į vieną ar kitą sensoriaus celę.

Taškinio šaltinio skleidžiamo spindulio kampas yra matuojamas dydžiu, kurį nedažnai sutinkame - steradianais (sr). Baigėte mokyklą ir vis dar nežinote, kas tai? Turėtumėt, kaip ir aš, susigėsti - mat jį jaunųjų fizikų mokykloje Mažasis fotonas aiškina jau septintokams. Skiriasi jis nuo paprasto 2D kampo tuo, kad yra erdvinis, t.y. 3D kampas. Jeigu 2D kampą atitinka vienetinio spindulio (R=1) apskritimo lanko ilgis tarp kampą apibrėžiančių spindulių, tai 3D kampą atitinka vienetinio spindulio sferos paviršiaus plotas, kurį apibrėžia iš centro išeinančio spindulio kūgis. Na taip, tenka susikaupti ir šiek tiek įtempti vaizduotę, kad suprasti, bet tikrai įmanoma - tai ne raketų mokslas, kaip pasakytų tūlas amerikonas.

Na, o dabar apie praktinį pritaikymą, skaičiuojant kiek šviesos iš taškinio šaltinio pateks į konkrečią celę.

Šioje diagramoje naudoju štai tokius žymėjimus:

lo	atstumas iki taškinio šaltinio
Yo	taškinio šaltinio aukštis virš optinės ašies
ls	atstumas iki sensoriaus
Ys	atstumas nuo optinės ašies iki sensoriaus celės
dYs	sensoriaus celės aukštis
Yc1, Yc2	kraštiniai taškai, kuriuose sensoriaus celę dengiantis šviesos srautas kertą lęšį

Visa gudrybė yra suskaičiuoti Y_c reikšmę, kai žinome Y_o ir Y_s. Geometrijos ir matematikos čia šiek tiek daugiau, negu savo įrašuose naudojau iki šiol, tad nevarginsiu ir pateiksiu galutinį rezultatą:
$\begin{array}{c}{Y}_c\mathrm{=}\frac{f\mathrm{\ast }(l_o\mathrm{\ast }{Y}_s\mathrm{-}{l}_s\mathrm{\ast }{Y}_o)}{l_o\mathrm{\ast }(f\mathrm{-}{l}_s)\mathrm{-}f\mathrm{\ast }{l}_s}\\ \\ \cos (\angle Y_{\mathit{c1}}{Y}_o{Y}_{\mathit{c2}})\mathrm{=}\frac{(Y_{\mathit{c1}}\mathrm{-}{Y}_o)\mathrm{\ast }(Y_{\mathit{c2}}\mathrm{-}{Y}_o)+l_o\mathrm{\ast }{l}_o}{\sqrt{{(Y_{\mathit{c1}}\mathrm{-}{Y}_o)}^2+l_o^2}\mathrm{\ast }\sqrt{{(Y_{\mathit{c2}}\mathrm{-}{Y}_o)}^2+l_o^2}}\\ \\ \mathit{sr}(\angle Y_{\mathit{c1}}{Y}_o{Y}_{\mathit{c2}})\mathrm{=}2\mathrm{\ast }\pi \mathrm{\ast }1\mathrm{-}\sqrt{\frac{1+\cos (\angle Y_{\mathit{c1}}{Y}_o{Y}_{\mathit{c2}})}{2}}\end{array}$
Kitaip tariant, jeigu galime suskaičiuoti Y_c1 ir Y_c2, galime pasakyti kokiu erdviniu kampu sr iki lęšio atsklinda šviesos srautas, kuris už lęšio sufokusuojamas į vieną celę. O tai savo ruožtu nusako, kokia taškinio šaltinio šviesos dalis papuola į konkrečią celę - tai ką ir norėjau suskaičiuoti.

Vėlgi - vienas paveikslėlis gali būti vertas tūkstančio žodžių. Tad imam 24 mm lęšį su tuo pačiu sensorium kaip pavyzdyje aukščiau, tariam, kad tiek taškinis šaltinis, tiek sensorius yra nutole po 25 mm nuo lęšio, ir kad mūsų apertūra nerealiai didelė - net 120 mm (grynai hipotetiškai, nes f/0,2 yra nepasiekiamas net teoriškai). Na ir sensorius tik kokių nors 20000 pikselių aukščio (kas prie 3:2 formato reikštų 600 Mpx - vėlgi daugiau hipotetinė negu praktinė prielaida). Štai jums į sensorių suprojektuoto TŠŠ vaizdo intensyvumo grafikėlis - horizontalioje ašyje pikseliai, vertikalioje atidėtas pikselyje surinkto šviesos srauto intensyvumas:

Pagal teoriją turėjome gauti taip vadinamąjį Airy disc - į begalybę nubanguojančią kreivę. Tam reiktų įsivertinti difrakcijos ir interferencijos reiškinius, kas mums šiuo metu nėra labai įdomu. O Gauso pasiskirstymo funkcijos "varpelis" visai neblogai aproksimuoja tą patį Airy disc didžiojoje dalyje - to mums kaip ir pakanka.
Įdomu dar tai, kad šviesa, kad ir kokia silpna bebūtų, papuola į visus sensoriaus kampelius. Tokį rezultatą gavom su praktiškai neribota apertūra. Ką gausim apriboje apertūrą? Tikrinam - apertūra apribojam iki 3mm, sensorių fiksuojam 24,24 mm atstumu, o TŠŠ stumiame tolyn nuo lęšio:

Kreivių aukščiai šioje diagramoje nesvarbūs: jie specialiai buvo parinkti taip, kad arčiausiai lęšio esančio TŠŠ grafikas yra aukščiausias, o toliausiai - žemiausias. Svarbu tik plotis - jis parodo, kiek pikselių užima TŠŠ suformuota dėmelė: grafikas nuo -1 iki 1 reiškia 1 cėlę; nuo -3 iki 3 atitinka 3 sensoriaus celes ir t.t. Vienok įdomus vaizdelis gaunasi, ar ne?

Jeigu nesupainiojau jūsų ir visos mintys rado savo vietą galvose, tai galima sakyt, kad pasiruošėm nagrinėti, kaip gaunasi su tais fokusuotais ir nefokusuotais vaizdais.
Ir kaip visada - tai jau sekančiame įraše.

Privalomi skaitiniai

Visiems, kuriems kyla klausimų dėl to, kokį - tokį ar kitokį - fotoaparatą įsigyti, radau privalomą skaitinį: Your Camera Doesn't Matter. Prieš klausiant patarimo pas žmogų su fotoaparatu rankose šį tekstą privalu išmokti mintinai. Jei nepadės išsirinkti, bent jau geriau suprasit, kiek patarimas vertas.

P.S. Ačiū Andriui Užkalniui, už svetainės užrodymą.

Kaip gaunamas fokusuotas vaizdas

Pažiūrėjus į spindulius, kuriuos braižiau pasakodamas kaip išvesti Gauso geometrinės optikos formulę lęšiui, turėtų būti kaip ir aiškus fokusavimo mechanizmas: yra objektas, nuo jo sklindantys spinduliai susirenka į tam tikrą tašką už lęšio - tai ir yra mūsų fokuso taškas. Vadinasi, priklausomai nuo to, kokiu atstumu už lęšio padėsime sensorių, jame (sensoriuje) bus fiksuojami tie taškai kurie yra Gauso formulę atitinkančiu atstumu priešais objektyvą. Panašiai ir pasiekiamas fokusuotas vaizdas fotoaparate: objektyvo lęšių sistema fokusuojant vaizdą pastumdoma taip, kad atsidurtų arčiau arba toliau nuo sensoriaus - ten kur reikia, jog spinduliai nuo objekto į kurį fokusuojame susirinktų sensoriaus plokštumoje. Atkreipkime dėmesį: fokusuojant keičiasi tik atstumas tarp lęšių ir sensoriaus, bet fokalinis lęšių atstumas f nesikeičia - tai pagrindinis fokusavimo mechanizmo skirtumas nuo taip vadinamojo zoom'inimo, kai keičiamas lęšių sistemos fokalinis atstumas f. Kol kas viskas aišku ir paprasta, tiesa?

Priklausomai nuo to kokiu atstumu l_s yra sensorius nuo lęšio, jame bus raiškiai fokusuojamas atitinkamu l_o atstumu esantis objektas

Ir aš taip galvojau iki perskaičiau knygą apie fokusavimo subtilybes. Bestudijuodamas knygą pirmą kart užstrigau ties fokusavimu begalybėje. Na taip, begalybės simbolį ant objektyvo matyt matė visi. O ką tai reiškia praktiškai? Kažkaip pasidarė neaišku - taigi lygiagrečiai iš begalybės ateinantys spinduliai fokusuojami židinyje, viename taške. Juk ne kartą vaikystėje tą darėm su padidinamuoju stiklu - nukreipi į Saulę, sufokusuoji į tašką židinio plokštumoje ir... pasvilini gerai, o tai žiūrėk ir uždegi. Apie jokį platesnį vaizdo formavimą ten net šnekos nebuvo - vienas karštas taškas ir viskas. Tačiau fotoaparatai fokusuoja begalybėje, sensoriai nedega ir dar vaizdus iš masės taškų išgimdo. Taigi, kur čia šuo pakastas?

Visaip sukau galvą ir ne iškart supratau, kad viskas yra sąlyginai paprasta. Pabandykim įjungti fantaziją ir įsivaizduoti, kad mūsų Saulės sistemoje dega ne viena, o dvi viena šalia kitos besisukančios maždaug vienodo dydžio "saulės". Ir, kad jos matomos danguje kaip du sąlyginai arti vienas nuo kito esantys dangaus kūnai. Na net jeigu tai ir skamba kaip nonsensas astrofizikos prasme turėtų visai gražiai atrodyti. Štai šioje hipotetinėje situacijoje yra įdomus toks klausimas: kiek ugnies židinių galėtų sukelti šioje situacijoje vienas vienintelis lęšis? Atsakymas trivialus: taigi tiek pat, kiek ir yra saulių - du. Būtų trys saulės - gautume tris ugnies židinius. Ir t.t.

Čia ir matosi fokusavimo begalybėje esmė - skirtingu kampu į lęšį krintantys lygiagretūs šviesos spinduliai fokusuojami skirtinguose taškuose fokalinėje plokštumoje. Tas atsitinka net ir fokusuojant vienos saulės spindulius į plokštumą: fokusuojamas visas dangaus skliautas, tačiau jame nėra kitų ryškių objektų, todėl iš esmės matom tik ryškiausią saulės spindulių sufokusuotą tašką. Taip susidaro iliuzija, kad tai ir yra vienintelis fokusavimo rezultatas.

Kaip gaunamas fokusuotas vaizdas atrodo kaip ir aišku. Tačiau, gerai pagalvojus, liko neatsakytas dar ne vienas klausimas: kas atsitinka su ta nuo objekto atsklidusia šviesa, kuri nebūna sufokusuota? Ir apskritai, kaip atsitinka, kad vienu atveju tas pats vaizdas yra už lęšio matomas ir suvokiamas kaip sufokusuotas, o kitu atveju, kai sensorius pastumtas į kitą poziciją, - kaip nesufokusuotas? Pa'google'inus pasimatė gan įdomus šio klausimo aspektas: pasirodo, jeigu fokusuotą vaizdą perteikiantys algoritmai yra pakankamai aiškūs, tai vadinamojo bokeh simuliavimas yra ganėtinai netrivialus reikalas, norint perteikti fotorealistinį vaizdo išplaukimą. Bet argi galima sakyt, kad perpratai kaip gimsta fokusuotas vaizdas, jeigu nežinai, kaip atsiranda išplaukęs? Taip palengva, klausimas po klausimo, bebandant įsigilinti į fokusavimo subtilybes, ir buvo suvartotas visas mano šio rudens laisvalaikis.

Na bet ne viskas iš karto - kitame įraše mūsų laukia keletas gal ir nuobodžių, bet labai reikalingų sąvokų.

Greitas maistas fotografams

Visi skuba šiais laikais. Man asmeniškai tai asocijuojasi su vartojimo kultu, greitu maistu ir pan. Tiesa, skubėdavo ir senais laikais - gal dėl to fotožurnalistų tarpe dar praeitame amžiuje išplito posakis "f/8 and be there". Čia, žinoma, svarbiausia žinutės dalis būdavo "be there", o "f/8" patarimas buvo tarsi greitas maistas smegenims, kad nesiblaškytų, kai sensacingi kadrai skrieja panosėje. Taip buvo tada. O dabar...

Vasaros pabaigą praleidau kelionėje, taigi neišvengiamai tysiausi ir savo DSLR'ą. Ruošiausi rimtai - net trikojį įgrūdau į lagaminą. Ir žinoma ruošiausi morališkai bei visaip kaip intelektualiai. Mat skridau į JAV gamtos turtų apžiūrėti. Vienas iš rimčiausių klausimų buvo - kokiu rėžimu reiks fotografuoti Grand Canyon ar kitus įspūdingus reginius. Surizikavau ir nusprendžiau pritaikyti šviežias žinias: diafragmos prioritetas, f/9 ir rankinis fokusavimas begalybėje. Labai panašu į fotožurnalistų taikytą f/8 taisyklę ar ne?

Turiu pasakyti, kad grįžęs ir atspausdinęs 20x30cm dydžio nuotraukas likau netgi labai patenkintas rezultatu - atrodo tarsi vietomis gali "akmenukus" kanjone skaičiuoti. Štai taip pvz. atrodo pora 100% dydžio išnašų iš vieno kadro:

Vaizdelis į Grand Canyon iš South Rim, Desert View Watchtower'io (kaip visada spustelėjus atsidarys dar šiek tiek didesnis paveiksliukas)

Sau padariau išvadą, kad "greito maisto" nustatymai tokio tipo situacijoms ir vaizdams pasiteisino.

Beje paaiškėjo, kad rankinis fokusavimas į begalybę suteikia ir šiek tiek patogumo. Pvz. jeigu reikia padaryti "greitą" kadrą iš važiuojančio automobilio - fotoaparatas visada yra pasiruošęs padaryti kadrą, nelaukiant autofokusavimo mechanizmo leidimo. Kad ir koks pastarasis būtų greitas, niekada negali žinoti ar nepradės autofokusas "šokinėti". Žiūrėk ir nespės sufokusuoti, kai prašvilpęs už posūkio dings žavus vaizdelis.

O jeigu kalbėti ne tik apie greitą maistą, bet ir apie kažką "gurmaniško" mūsų protams: ar jums nekilo klausimų, kodėl pvz. f/9, o ne f/11? Ir prie ko čia fokusavimas į begalybę? Pasirodo yra apie ką pamąstyti, nes visi šie pasirinkimai turi savo priežąstį. Tačiau apie tai rašysiu jau kituose įrašuose.

Mintis iš niekur (9)

Kodėl galvodamas kaip atnešti taiką į žmonių širdis aš netikėtai pajaučiu jog mobilizuojasi kūnas, protas kurstomas išdavikiško kraujo kvapo pradeda šokti karo šokį virš veiksmų plano, o siela įsijaučia į artėjančios pergalės didybę ir išdidžiai žengia per pamintos sažinės dejones?.. Nors ir kas ji tokia šią akimirką - šiek tiek daugiau garso ir bus nustelbtos tos sapalionės apie toleranciją ir abstrakčią meilę žmonėms, o jutimų lauke liks tiktai tikslas ir garbė.
Ach, ir kokia gi saldi ta saviapgaulė...

Rūkas ir ilgas išlaikymas

Šeštadienį vakare užėjo toks tirštas rūkas, jog neatsispyriau pagundai ir pasistačiau trikojį. Tuo pačiu išbandžiau ir įsigytą nuotolinį paleidėją:

ISO100 f/9 25s 46mm

Tiesa sakant, net nelabai yra ką rašyti apie patį procesą - viskas ganėtinai įprasta. Tik tiek, kad paleidimo mygtuką spaudi ne ant fotoaparato, o ant distancinio paleidėjo.

Rūkas gan greitai pradėjo sklaidytis, bet kaip sakoma: "kartą paragavęs - negali sustot". Tad neatsispyriau ir pagundai užfiksuoti įsukančių automobilių žibintų paliekamą šviesos taką - dar keletas minučių buvo sugaišta "medžioklei":

ISO100 f/9 64s 31mm

Čia viskas vyko beveik taip pat, tik labiau sutemo ir standartinės išlaikymo skalės nebeužteko: teko pereiti į rankinį rėžimą, taip vadinamąjį "bulb". Ir matuoti išlaikymą pagal laikrodį. Šioje vietoje labai pravertė ant distancinio paleidėjo esantis mygtuko fiksatorius -fotoaparatas tokio neturi - nereikėjo visą laiką pirštu laikyti paspausto mygtuko. Ir apskritai supratau, kad "bulb" išlaikymas be distancinio paleidėjo yra ne tai kad neįmanomas, bet iš principo klaidingas - laikydamas paspaustą mygtuką ant fotoaparato tikrai gaučiau išplaukusius kadrus.

Kaip ir rašoma vadovėliuose: trikojis ir nuotolinis paleidėjas ilgą išlaikymą paverčia ganėtinai paprasta procedūra. Žodžiu - verta išbandyti.

Geometrinė optika: Gauso formulė lęšiui

Nepamenu ar mokykloje kas aiškino kaip Gausas išvedė lęšio formulę. Gal ir pasakojo, tik aš jau nebeprisimenu. Bet kuriuo atveju yra pretekstas pačiam pabandyti ją išvesti.

Beje, kodėl Gauso nagrinėta optika vadinama "geometrine"? Todėl, kad žmonės ilgai manė, jog šviesa sklinda tiesiais spinduliais. Būtent šia prielaidą vadovavosi ir Gausas išvesdamas lęšio formulą. Braižant šiuos spindulius jų sklidimo plokštumoje gaunamos įvairios geometrinės figūros - matyt tai ir yra priežastis, kodėl toks optikos aiškinimas vadinamas "geometriniu".

Šiuolaikinei fizikai žinomi reiškiniai - pvz. difrakcija - paneigia šviesos sklidimo spinduliais teoriją. Jų tiesiog negalima paaiškinti naudojant geometrinę optiką. Nepaisant to, Gauso išvesta formulė yra pakankamai tiksli - aiškinant plonojo lęšio poveikį sklindančiam šviesos srautui refrakcijos principu rezultate gaunam tą patį.

Norint išvesti Gauso lęšio formulę pakanka (vėlgi) elementarių geometrijos žinių ir žinoti pagrindinę lęšio sąvybę: lygiagretūs spinduliai fokusuojami židinyje. Ir atvirkščiai: šviesos spindulys einantis per židinį už lęšio virsta lygiagrečiu šviesos srautu. Jeigu parodyti vaizdžiai - tai atrodytų taip:

čia turim lęšį su pažymėtais židiniais F₁ ir F₂ .

Taigi tarkim, kad kairėje (prieš lęšį) turim objektą, o dešinėje (už lęšio) - jo vaizdą. Tarp sklindančių spindulių ir optinės lęšio ašies galima nubraižyti keturis trikampius: du tarpusavyje panašius prieš lęšį ir du panašius už jo. Vaizdumo dėlei nuspalvinau juos diagramoje:

Gauso formulė lęšiui (paspaudus atsidarys didesnis paveikslėlis)

Diagramoje surašiau ir matematinių formulių išvedimą. Principas paprastas: užrašome aukštinių (žymimos raidėmis g ir h diagramoje) santykį su atitinkamo trikampio pagrindu kiekvienai panašių trikampių porai. Kadangi trikampių prieš ir už lęšio aukštinės vienodos, tai dalindami gautas formules viena iš kitos aukštines eliminuojam. Lieka tik atstumai. O iš ten paprastų manipuliacijų dėka išvedam Gauso formulę lęšiui.

Va ir viskas. Kam tiek vargo? Tikiuosi pravers vėliau - ieškant fokuso.